Lineer Fonksiyonel
Lineer fonksiyonel, bir vektör uzayı üzerinde tanımlı ve skaler değerler üreten bir lineer dönüşümdür. Başka bir deyişle, bir vektörü bir skalere eşlerken, vektör uzayının lineer yapısını korur.
Tanım:
Bir V vektör uzayı üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu lineer fonksiyoneldir eğer aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa:
- Toplamsallık: f(x + y) = f(x) + f(y), her x, y ∈ V için.
- Homojenlik (Skaler ile çarpma): f(αx) = αf(x), her x ∈ V ve α skaler için.
Özellikler ve Örnekler:
- Dual Uzay: Bir vektör uzayının tüm lineer fonksiyonellerinin kümesi, o vektör uzayının dual uzayı olarak adlandırılır. Dual uzay da bir vektör uzayıdır.
- İç Çarpım Uzayları: İç çarpım uzaylarında, her vektör bir lineer fonksiyonel ile ilişkilendirilebilir. Bu ilişki, iç çarpım aracılığıyla tanımlanır. Örneğin, bir v vektörü için, f(x) = <v, x> şeklinde bir lineer fonksiyonel tanımlanabilir.
- İntegraller: Belirli sınırlar arasındaki bir fonksiyonun integrali, fonksiyon uzayı üzerinde bir lineer fonksiyonel olarak düşünülebilir.
- Trace (İz): Bir matrisin izi (köşegen elemanlarının toplamı), matris uzayı üzerinde bir lineer fonksiyoneldir.
Önem:
Lineer fonksiyoneller, fonksiyonel analiz, tensör analizi ve optimizasyon gibi birçok matematiksel alanda önemli bir rol oynar. Özellikle dual uzay kavramı, lineer cebir ve analiz arasındaki ilişkiyi anlamak için kritiktir.